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[微分几何] J. Milnor《Morse理论》Part I.流形上的非退化光滑函数 - 1.引言

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发表于 2021-5-30 08:09:43 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 iceflower 于 2021-6-17 19:33 编辑

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 楼主| 发表于 2021-5-30 18:30:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 iceflower 于 2021-6-21 12:01 编辑

不得不说,这个引言没把话说透。看完作者的引言原文仍然不足以让人感受到临界点概念的重要性到底在哪,也不足以让人感受到这个理论的目的,让人疑惑讨论临界点和负号的个数到底要干什么。下面稍做说明。

引言的主要目的就是直观地引出“临界点”的概念。它是欧氏空间上可微函数驻点概念在流形上的推广。这个概念的重要性在于:
  • 临界点处的胞腔分解有助于计算某些空间的同调群;

  • $k$-胞腔的个数与第$k$个Betti数密切相关;

  • 可微函数具有自然的梯度场,而梯度场在临界点处一定为零。联想到Poincare-Hopf指标定理,流形上的向量场的零点的指标和与流形的大范围拓扑结构有着密不可分的关系,于是很自然地就可以想,把临界点看作可微函数梯度场的零点,就可以给临界点定义指标,从而用临界点的指标和来描述流形的大范围拓扑结构。这些负号的个数很重要,就是要用它来定义临界点的指标。



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发表于 2022-6-11 17:07:24 | 显示全部楼层

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